유레카!

《대학물리학》 10판 개정판(북스힐) 330페이지에 실린 유레카 문제를 OpenAI Playground에서 풀어보았다.

(위키북스에서 출간 예정인 《OpenAI, 구글 Gemini, 업스테이지 Solar API를 활용한 실전 LLM 앱 개발》 2장에 이 페이지 https://ac.ychoi.kr/242를 소개하려고 한다.)

 

gpt-4o-mini 및 gpt-4o

프롬프트

시스템 지침(System instructions):

다음 물리학 문제의 풀이 과정을 알려주세요.

 

사용자(User):

왕으로부터 왕관이 순금인지 판별해 달라는 요청을 받은 아르키메데스는 이 문제를 해결하기 위하여 왕관의 무게를 공기 중과 물속에서 측정하였다. 이때 공기 중에서는 7.84 N이었고, 물속에서는 6.84 N이었다고 하자. 아르키메데스는 왕에게 어떻게 대답하였을까?

 

gpt-4o-mini의 답변

아르키메데스는 왕관의 부피와 밀도를 이용하여 왕관이 순금인지 판별할 수 있는 방법을 사용할 것입니다. 아르키메데스의 원리와 관련된 내용으로, 물속에서 물체의 격리된 저항력을 측정하여 물체의 부피와 밀도를 알아낼 수 있습니다.

1. **먼저, 왕관의 부피를 구합니다.** 
   부피는 물속에서의 무게 감소량을 이용하여 구할 수 있습니다. 물속에서의 무게는 6.84 N이고, 공기 중의 무게는 7.84 N입니다. 두 값의 차이는 왕관이 물속에 잠겼을 때의 부력을 나타냅니다.

   $$\text{부력}=\text{공기 중 무게}-\text{물속 무게}=7.84\text{N}-6.84\text{N}=1.00\text{N}$$

2. **부력과 관련된 물체의 부피를 구합니다.**
   부력(B)은 물체의 부피(V)와 물의 밀도(ρ)와 중력가속도(g)를 통해 구해집니다. 물의 밀도가 약 1000 kg/m³ (또는 9.81 N/kg의 중력가속도 하에서 9.81 N/m³)로 가정할 수 있습니다. 부력 공식은 다음과 같습니다.

   $$B=V\cdot \rho \cdot g$$

   여기서 $B=1.00\text{N}$, $\rho =1000{\text{kg/m}}^3$, $g=9.81\text{N/kg}$ 이므로,

   $$1.00\text{N}=V\cdot 1000{\text{kg/m}}^3\cdot 9.81\text{N/kg}$$

   $$V=\frac{1.00\text{N}}{1000{\text{kg/m}}^3\cdot 9.81\text{N/kg}}\approx 0.0001019{\text{m}}^3$$

3. **왕관의 밀도를 계산합니다.**
   공기 중의 무게와 부피를 이용하여 밀도를 구합니다. 왕관의 질량(m)은 무게(W)와 중력을 통해 구할 수 있습니다.

   $$m=\frac{W}{g}=\frac{7.84\text{N}}{9.81\text{N/kg}}\approx 0.798\text{kg}$$

   밀도(ρ)는 질량(m)과 부피(V)로 계산됩니다.

   $$\rho =\frac{m}{V}=\frac{0.798\text{kg}}{0.0001019{\text{m}}^3}\approx 7835.7{\text{kg/m}}^3$$

4. **결론 도출:**
   순금의 밀도는 약 19300 kg/m³입니다. 아르키메데스는 왕관의 밀도가 7835.7 kg/m³인 것을 확인한 후, 이 값이 순금보다 낮으므로 왕관이 순금이 아님을 왕에게 보고할 것입니다. 즉, 왕관은 순금이 아니라고 대답했을 것입니다.

 

gpt-4o의 답변

아르키메데스가 왕관의 순금을 판별하기 위해 사용한 방법은 부력을 이용하는 것입니다. 부력은 물속에서 물체가 받는 부양력으로, 물체의 부피에 해당하는 물의 무게와 같습니다.

1. **공기 중에서의 무게**: $W_{\text{air}}=7.84\text{N}$
2. **물속에서의 무게**: $W_{\text{water}}=6.84\text{N}$

부력은 공기 중 무게에서 물속의 무게를 뺀 값입니다.
$$F_{\text{buoyancy}}=W_{\text{air}}-W_{\text{water}}=7.84\text{N}-6.84\text{N}=1.00\text{N}$$

부력은 물체의 부피를 물의 밀도와 중력가속도로 곱한 값과 같으므로, 부피 $V$에 관한 식을 작성할 수 있습니다:
$$F_{\text{buoyancy}}={\rho }_{\text{water}}\cdot V\cdot g$$
여기서 ${\rho }_{\text{water}}$는 물의 밀도 ($1000{\text{kg/m}}^3$)이고, $g$는 중력가속도 ($9.8{\text{m/s}}^2$)입니다.

$$1.00\text{N}=1000{\text{kg/m}}^3\times V\times 9.8{\text{m/s}}^2$$

$$V=\frac{1.00\text{N}}{1000{\text{kg/m}}^3\times 9.8{\text{m/s}}^2}=\frac{1.00}{9800}{\text{m}}^3=1.02\times {10}^{-4}{\text{m}}^3$$

왕관의 질량 $m$는 공기 중 무게를 사용하여 계산합니다:
$$m=\frac{W_{\text{air}}}{g}=\frac{7.84\text{N}}{9.8{\text{m/s}}^2}=0.8\text{kg}$$

왕관의 밀도를 계산합니다:
$${\rho }_{\text{crown}}=\frac{m}{V}=\frac{0.8\text{kg}}{1.02\times {10}^{-4}{\text{m}}^3}\approx 7843{\text{kg/m}}^3$$

순금의 밀도는 약 $19300{\text{kg/m}}^3$입니다. 계산 결과, 왕관의 밀도 $7843{\text{kg/m}}^3$는 순금의 밀도와 크게 차이납니다. 따라서 아르키메데스는 왕에게 왕관이 순금이 아니라고 대답했을 것입니다.

 

o1-mini

프롬프트

사용자 지침:

다음 물리학 문제의 풀이 과정을 알려주세요.

왕으로부터 왕관이 순금인지 판별해 달라는 요청을 받은 아르키메데스는 이 문제를 해결하기 위하여 왕관의 무게를 공기 중과 물속에서 측정하였다. 이때 공기 중에서는 7.84 N이었고, 물속에서는 6.84 N이었다고 하자. 아르키메데스는 왕에게 어떻게 대답하였을까?

 

o1-mini의 답변

아르키메데스가 왕의 순금 왕관을 판별하기 위해 사용한 방법은 부력의 원리를 이용한 실험입니다. 아래는 문제의 풀이 과정입니다.

### **주어진 정보:**
- **공기 중에서의 무게 (W₁):** 7.84 N
- **물속에서의 무게 (W₂):** 6.84 N
- **물의 밀도 (ρ_물):** 1000 kg/m³
- **중력 가속도 (g):** 9.8 m/s²

### **1. 부력(F_b) 계산:**
부력은 물속에서의 무게 감소량으로 계산할 수 있습니다.
$$F_b=W₁-W₂=7.84\text{N}-6.84\text{N}=1\text{N}$$

### **2. 왕관의 부피(V) 계산:**
부력은 왕관이 물에 의해 밀려난 물의 무게와 같습니다.
$$F_b={\rho }_{물}\times V\times g$$
이를 통해 부피 V를 구하면,
$$V=\frac{F_b}{{\rho }_{물}\times g}=\frac{1\text{N}}{1000\text{kg/m}³\times 9.8\text{m/s}²}\approx 0.000102\text{m}³$$

### **3. 왕관의 질량(m) 계산:**
공기 중에서의 무게를 이용하여 질량을 구합니다.
$$W₁=m\times g$$
$$m=\frac{W₁}{g}=\frac{7.84\text{N}}{9.8\text{m/s}²}=0.8\text{kg}$$

### **4. 왕관의 밀도(ρ_왕관) 계산:**
밀도는 질량을 부피로 나눈 값입니다.
$${\rho }_{왕}관=\frac{m}{V}=\frac{0.8\text{kg}}{0.000102\text{m}³}\approx 7843\text{kg/m}³$$

### **5. 순금과의 비교:**
순금의 밀도는 약 **19,320 kg/m³**입니다. 계산된 왕관의 밀도 **7843 kg/m³**는 순금의 밀도보다 훨씬 낮습니다.

### **결론:**
왕관의 밀도가 순금의 밀도보다 낮기 때문에 **왕관은 순금이 아니다**라는 것을 알 수 있습니다. 아르키메데스는 이 결과를 바탕으로 왕에게 왕관이 순금이 아님을 보고했을 것입니다.

 

평가

세 모델 모두 왕관이 순금이 아님을 맞혔다. 왕관의 밀도를 조금씩 다르게 계산한 것은 중력가속도의 정확도가 달라서인 것 같다.

o1-mini의 강점이 돋보이게 하려면 좀 더 어려운 문제를 풀라고 해야겠다. 그런데 모델 성능보다 중요한 문제가 있다. AI가 생성한 풀이 과정과 답이 옳은지를, 내가 판단할 수 있을까?